Legendre 多項式の直交性 - yoshitake-hのブログ

互いに直交するのは固有多項式だから，というのが簡明だが，次の積分の計算からも示せる．

$\int_{-1}^1 \frac{dz}{\sqrt{ (1-2zr+r^2)(1-2zs+s^2) } } = \frac{1}{\sqrt{rs} } \log \frac{1+\sqrt{rs} }{1-\sqrt{rs} }$
より，
$\int_{-1}^1 P_l(z)P_k(z) dz = \frac{2}{2l+1} \delta_{l\,k}.$

2次曲線 $y^2=(1-2zr+r^2)(1-2zs+s^2)$ と
直線 $y=a-t(z-1),\; a=(1-r)(1-s)$
の $(z,\,y)= (1,\,a)$ 以外の交点の座標は，
$(z,\,y)= ( 1+2 \frac{at-b}{t^2-4rs} ,\; a-2t\frac{at-b}{t^2-4rs}),$
$b=r+s-4rs+(r+s)rs .$