Simple proof of Zermelo's theorem - yoshitake-hのブログ

http://jp.arxiv.org/abs/1111.6991
集合 $A$ 上の整列順序の存在を示す． $A$ のべき集合を $B$ とする．

選択公理により，写像 $\alpha :B\smallsetminus \{ A\} \to A,\quad \alpha (p)\not\in p$ が存在する．

$P\subset B$ が regular set であるとは，次がなりたつこと．

(1) $\varnothing \in P$
(2) $P$ は包含関係について整列集合
(3) 任意の $p\in P,\; p\ne \varnothing$ に対し，
$p=p_1\cup \{ \alpha (p_1)\},\quad p_1 = \bigcup \{ q\in P \mid q\subsetneq p\}$

すべての regular set の和集合を $Q$ とすると， $\alpha :Q\to A$ は全単射．