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角（つの）

math

単体集合 $\Lambda^n_i\; (0\le i\le n)$ を，
$\Lambda^n_i(\Delta^k) = \bigcup_{j\in \{0,\,1,\,\dots,\,n\}\smallsetminus \{i\} } \mathrm{Im}( d^n_j: \Delta^{n-1}(\Delta^k)\to \Delta^n(\Delta^k))$
によって定義する．これを n 次元単体の i 番目の角とよぶ．

単体集合 $S$ が小圏の脈体であるために必要十分条件は，任意の $0<i<n$ に対し， $S(\Delta^n)\to S(\Lambda^n_i)$ が全単射であること．
さらに亜群の脈体であるための必要十分条件は，上の条件に加えて $S(\Delta^2)\to S(\Lambda^2_i)\; (i=0,\,2)$ が全射であること．

単体集合 $S$ が ∞ 圏 であるとは，任意の $0<i<n$ に対し， $S(\Delta^n)\to S(\Lambda^n_i)$ が全射であること．
単体集合 $S$ が ∞ 亜群 あるいは Kan 複体 であるとは，任意の $0\le i\le n$ に対し， $S(\Delta^n)\to S(\Lambda^n_i)$ が全射であること．

∞ 圏は単体集合全体の圏 SSet 上の Joyal モデル構造の fibrant 対象に一致．
∞ 亜群は SSet 上の Kan モデル構造の fibrant 対象に一致．