熱力学と圏（２） - yoshitake-hのブログ

２つの系 $\mathcal{E}_1,\,\mathcal{E}_2$ に対し，系 $\mathcal{E}_1\otimes\mathcal{E}_2$ を以下で定義する．
$\mathrm{Ob}(\mathcal{E}_1\otimes \mathcal{E}_2)=\{(x_1,\,x_2)\in \mathrm{Ob}(\mathcal{E}_1)\times \mathrm{Ob}(\mathcal{E}_2)\mid T(x_1)=T(x_2)\},$
$(T,X):\mathrm{Ob}(\mathcal{E}_1\otimes\mathcal{E}_2)\to \mathbb{R}^{>0}\times \mathbb{R}^{n_1+n_2},$
$T(x_1,x_2)=T(x_1)=T(x_2),\;X(x_1,x_2)=(X(x_1),X(x_2)),$
$\mathcal{E}_1\otimes \mathcal{E}_2( (x_1,x_2),(y_1,y_2))=\mathcal{E}_1(x_1,y_1)\times \mathcal{E}_2(x_2,y_2),$
$W(\varphi_1,\varphi_2)=W(\varphi_1)+W(\varphi_2).$
$\mathcal{E}_1\otimes\mathcal{E}_2$ の断熱過程は， $\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2$ の断熱過程の組，および $\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2$ の等温準静過程の組 $(\varphi_1,\varphi_2)$ で $Q(\varphi_1)+Q(\varphi_2)=0$ をみたすものによって生成される．
$\mathcal{E}_1\otimes\mathcal{E}_2$ の等温過程は， $\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2$ の等温過程の組，および温度を保つ断熱過程によって生成される．
仮定　 $\mathcal{E}_1\otimes\mathcal{E}_2$ において Kelvin の原理が成立する．

Carnot の定理　断熱準静過程 $x\to x',\;y\to y'$ と等温準静過程 $\varphi :x\to y,\;\varphi' :x'\to y'$ に対し， $\frac{Q(\varphi')}{Q(\varphi)}$ は系によらず， $T(x),T(x')$ のみに依存する．
$\mathbb{R}^{>0}$ の順序自己同型によって $T$ をとりかえることにより，
$\frac{Q(\varphi)}{T(x)}=\frac{Q(\varphi')}{T(x')}$
とできる．

$S:\mathrm{Ob}(\mathcal{E})\to \mathbb{R}$ を $F=U-TS$ によって定義し，エントロピーとよぶ．これは関手
$S:\mathcal{E}_\mathrm{ad}\to (\mathbb{R},\leq)$ を定める．
エントロピーの等しい平衡状態の間の断熱過程は，準静である．