Lurie の ∞ 圏 - yoshitake-hのブログ

単体集合 $K$ が圏の nerve になることは，次に同値：
任意の $\Lambda^n_i\subset\Delta^n\;(0<i<n)$ および単体写像 $\Lambda^n_i\to K$ に対し，拡張 $\Delta^n\to K$ が一意的に存在する．

次の条件をみたす単体集合 $K$ を Kan 複体 という：
任意の $\Lambda^n_i\subset\Delta^n\;(0\leq i\leq n)$ および単体写像 $\Lambda^n_i\to K$ に対し，拡張 $\Delta^n\to K$ が存在する．

位相空間に対し，その特異単体の全体は Kan 複体をなす．

この2つを一般化したものが，Lurie の ∞ 圏（準圏，弱 Kan 複体）．

次の条件をみたす単体集合 $K$ を ∞ 圏 という：
任意の $\Lambda^n_i\subset\Delta^n\;(0<i<n)$ および単体写像 $\Lambda^n_i\to K$ に対し，拡張 $\Delta^n\to K$ が存在する．