コンパクト性 (2) - yoshitake-hのブログ

系1　 $X_1,X_2$ がコンパクトならば， $X_1\times X_2$ もコンパクト．

証明　任意の位相空間 $T$ に対し，仮定より，射影
$X_1\times X_2\times T\to X_2\times T,\quad X_2\times T\to T$
は閉写像．よって $X_1\times X_2\times T\to T$ も閉写像．//

系2　 $X$ がコンパクト， $f:X\to Y$ が連続な全射ならば， $Y$ もコンパクト．

証明　位相空間 $T$ および閉集合 $A\subset Y\times T$ に対し，
$f_T=f\times\mathrm{id}_T:X\times T\to Y\times T$ とおくと，
${f_T}^{-1}(A)$ は閉集合で， $f_T({f_T}^{-1}(A))=A.$
よって $A$ の $Y\times T\to T$ による像は，
${f_T}^{-1}(A)$ の $X\times T\to T$ による像に一致するので，閉集合．//

系3　コンパクト空間の閉集合はコンパクト．

証明　コンパクト空間 $X$ の閉集合 $A$ に対し， $A\times T$ は $X\times T$ の閉集合．
よって， $A\times T$ の閉集合は $X\times T$ の閉集合．//

系4　コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像は閉写像．

証明　 $Y$ を Hausdorff 空間とすると，対角集合 $\Delta\subset Y\times Y$ は閉集合．
$X$ をコンパクト空間， $A\subset X$ を閉集合とする．
連続写像 $f:X\to Y$ に対し，
$f_Y=f\times \mathrm{id}_Y:X\times Y\to Y\times Y$
とおく．射影 $p:X\times Y\to Y$ に対し，
[tex:f(A)=p*1] は閉集合．//

*1:A\times Y)\cap{f_Y}^{-1}(\Delta