系1 がコンパクトならば， もコンパクト．証明 任意の位相空間 に対し，仮定より，射影 は閉写像．よって も閉写像．// 系2 がコンパクト， が連続な全射ならば， もコンパクト．証明 位相空間 および閉集合 に対し， とおくと， は閉集合で， よって の に…

命題 位相空間 に対し，次は同値： (i) はコンパクト． (ii) 任意の位相空間 に対し，射影 は閉写像．