コンパクト性 (1) - yoshitake-hのブログ

命題　位相空間 $X$ に対し，次は同値：
(i) $X$ はコンパクト．
(ii) 任意の位相空間 $T$ に対し，射影 $p:X\times T\to T$ は閉写像．
証明　(i) ⇒ (ii): $A\subset X\times T$ を閉集合， $t_0\in T-p(A)$ とする．
任意の $(x,t_0)\in p^{-1}(t_0)$ に対し，
$x\in X$ の開近傍 $U(x)$ ， $t_0\in T$ の開近傍 $V(x)$ があって，
$A\cap (U(x)\times V(x))=\phi.$
$X$ はコンパクトなので， $x_1,\dots,x_n\in X$ が存在して
$X=\bigcup_{i=1}^nU(x_i).$
よって，
$X\times \{t_0\}\subset \bigcup_{i=1}^nU(x_i)\times V(x_i).$
このとき
$p(A)\cap\bigcap_{i=1}^n V(x_i)=\phi.$
$\therefore\quad p(A)$ は閉集合．

(ii) ⇒ (i): $\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の開被覆とする．
$T$ を $X$ に点 $b$ をつけくわえた集合とし，
これに各 $U_\lambda$ を閉集合とする最弱の位相を入れる．
$T$ の閉集合のうち $T$ 以外は， $\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ の有限部分族の和集合に含まれる．
よって， $X$ が $T$ の閉集合であることを言えばよい．
$\Delta=\{(x,x)\in X\times T\mid x\in X\}$
とおく．
任意の $x\in U_\lambda$ に対し， $U_\lambda\times(T-U_\lambda)$ は， $(x,b)$ を含む開集合であって， $\Delta$ と交わらない．
したがって $p(\bar{\Delta})=X$ であり，仮定より $X$ は $T$ の閉集合．//