Dirichlet の算術級数定理（６）

math

6. \mathbb{C}

目標は，

定理5.5 \chi \neq \chi_0 に対し，L(1, \chi)\neq 0.

を示すことである．そのために，\zeta (s), L(s, \chi) を複素関数として考える．

補題6.1
複素平面上の開集合 U\subset \mathbb{C} 上の正則関数列 \{f_n(s)\} が，f(s) に広義一様収束するとする．
(1) f(s) は U 上正則．
(2) \{f'_n\} は f' に広義一様収束する．

証明
(1) 閉円板 D\subset U の内点 s に対し，Cauchy の積分公式より，
f_n(s)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f_n(t)}{t-s}dt.
f_n\to f は広義一様収束なので，f は連続で，
f(s)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(t)}{t-s}dt.
したがって，f(s) は D の内部で正則．
(2)
f'_n(s)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f_n(t)}{(t-s)^2}dt,
f'(s)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(t)}{(t-s)^2}dt
より．//

  • Weierstrass の多項式近似定理
    「有界閉区間上の任意の連続関数に対し，これに一様収束する多項式関数の列が存在する」
    とは対照的である．

補題6.2 級数
f(s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}\quad (a_n\in \mathbb{C},\quad s\in \mathbb{C})
が s=s_0 で収束するならば，f(s) は \mathrm{Re}(s)> \mathrm{Re}(s_0) で広義一様収束し，よって正則である．

証明
s_0=0 としてよい．
仮定より，\sum_{n=1}^\infty a_n は収束する．
よって A_{k,\,k'}=\sum_{n=k}^{k'}a_n とおくと，
\varepsilon >0 に対し，自然数 N があって，k'\geq k>N ならば |A_{k,\,k'}|<\varepsilon .
\sum_{n=k}^{k'}a_nn^{-s}=A_{k, k}k^{-s}+\sum_{n=k+1}^{k'}(A_{k, n}-A_{k, n-1})n^{-s}
=\sum_{n=k}^{k'-1}A_{k, n}(n^{-s}-(n+1)^{-s})+A_{k, k'}{k'}^{-s}.
よって k'\geq k>N に対し，
|\sum_{n=k}^{k'} a_nn^{-s}| \leq \varepsilon (\sum_{n=k}^{k'-1}|n^{-s}-(n+1)^{-s}|+1).
\sigma =\mathrm{Re}(s) とおくと，\sigma >0 のとき，
|n^{-s}-(n+1)^{-s}| = \left|\int_n^{n+1}st^{-s-1}dt\right| \leq |s|\int_n^{n+1} t^{-\sigma -1}dt \leq \frac{|s|}{\sigma}(n^{-\sigma}-(n+1)^{-\sigma}).
A>0 を固定する．
|s|\leq A\sigma において，k'\geq k>N に対し，
|\sum_{n=k}^{k'}a_nn^{-s}|\leq \varepsilon (\sum_{n=k}^{k'-1}A(n^{-\sigma}-(n+1)^{-\sigma})+1) =\varepsilon (A+1).
したがって，f(s) は |s|\leq A\sigma において一様収束する．//

系6.3
(1) \zeta(s), L(s, \chi_0) は \mathrm{Re}(s)>1 上の正則関数である．
(2) L(s, \chi)\quad (\chi\neq \varepsilon) は \mathrm{Re}(s)>0 上の正則関数である．

命題6.4 \zeta (s)-\frac{1}{s-1} は，\mathrm{Re}(s)>0 上の正則関数に延長される．

証明
\sigma=\mathrm{Re}(s) とおく．
f_n(s)=\int_n^{n+1}(n^{-s}-t^{-s})dt
とおくと，\sigma>0 で正則．
\sigma>1 に対し，
\zeta (s)-\frac{1}{s-1}=\sum_{n=1}^\infty f_n(s).
一方，\sigma >0,\quad n\leq t\leq n+1 のとき，
\left| \frac{d}{dt}(n^{-s}-t^{-s})\right| =|st^{-s-1}| =\sigma t^{-\sigma -1} \leq \sigma n^{-\sigma -1}.
したがって，|n^{-s}-t^{-s}|\leq \sigma n^{-\sigma -1}(t-n)\leq \sigma n^{-\sigma -1}.
よって，|f_n(s)|\leq \sigma n^{-\sigma -1}.
したがって，\sigma >0 で
\sum_{n=1}^\infty f_n(s)
は広義一様収束し，正則関数をあたえる．//

補題6.5
級数 f(s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s},\quad a_n\geq 0 が \mathrm{Re}(s)>\sigma_0 \quad (\sigma_0\in \mathbb{R}) で収束し，
s=\sigma_0 の近傍で正則関数に延長されるならば，
\varepsilon >0 があって，f(s) は \mathrm{Re}(s)>\sigma_0-\varepsilon で収束する．

証明
\sigma_0=0 としてよい．
\sum_{n=1}^\infty a_nn^{\varepsilon} が収束するような \varepsilon >0 があればよい．
f(s) を s=1 のまわりで Taylor 展開するとき，収束半径は1より大きいので，
\varepsilon'>0 があって，十分大きい k に対し，
\left|\frac{1}{k!}f^{(k)}(1)\right|\leq \left(\frac{1}{1+\varepsilon'}\right)^k.
補題6.1(2)より，
f^{(k)}(1)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-1}(-\log n)^k.
0<\varepsilon <\varepsilon' に対し，
\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-1}\frac{1}{k!}(\log n)^k(1+\varepsilon)^k \leq \left(\frac{1+\varepsilon}{1+\varepsilon'}\right)^k.
k について和をとって，
\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-1}e^{(1+\varepsilon)\log n}=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{\varepsilon}
が有界であることがわかる．正項級数なのでこれは収束する．//

定理5.5の証明
ある指標 \chi_1\neq \chi_0 に対し L(1, \chi_1)=0 だったとすると，
\frac{L(s, \chi_1)}{s-1} は s>0 上の正則関数．
s>1 に対し，
\zeta_m(s)=\prod{\chi\in \hat{G}}L(s, \chi)
とおく．
f(s)=\prod_{p\in P, p\mid m}(1-p^{-s}) とおくと，
L(s, \chi_0)=f(s)\zeta(s).
よって命題6.4より，
L(s, \chi_0)-\frac{f(1)}{s-1}
は s>0 上の正則関数に延長される．
したがって，\zeta_m(s) は s>0 上の正則関数に延長される．
一方，m とたがいに素な自然数 a に対し，a\quad\mathrm{mod}\quad m の位数を d(a) とし，
d'(a)=|\hat{G}(a\quad\mathrm{mod}\quad m)|=\hat{\varphi}(m)/d(a) とおく．
命題4.9より．
\zeta_m(s)=\prod_{p\in P, p\not| m}(1-p^{-d(p)s})^{-d'(p)}=\prod_{p\in P, p\not| m}(1+p^{-d(p)s}+p^{-2d(p)s}+\cdots)^{d'(p)}=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}.
ここで a_n は非負整数．
よって補題6.5より，\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s} は s>0 で収束する．
\prod_{p\in P, p\not| m}(1-p^{-{\hat{\varphi}(m)}s})^{-1}=\sum_{n=1}^\infty b_nn^{-s}
とすると，b_n も非負整数で，a_n\geq b_n．
こちらは s\to 1/\varphi (m) のとき発散する
このことは，\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s} が s>0 で収束することに反する．//