Dirichlet の算術級数定理（５）

5. $L$

定義5.1
自然数 $m$ に対し， $\chi :\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ で次をみたすものを， $m$ を法とする Dirichlet 指標と言う．
(1) $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b)$
(2) $\chi (a+m)=\chi (a)$
(3) $\chi (a)\neq 0\Longleftrightarrow \quad (a, m)=1$

$m$ を法とする Dirichlet 指標 $\chi$ は有限 Abel 群 $G=(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ の指標と自然に1対1に対応している．
$m$ を法とする Dirichlet 指標全体の集合も $\hat{G}$ と書くことにする．
その位数を $\hat{\varphi}(m)$ とする．

定義5.2
$m$ を法とする Dirichlet 指標 $\chi$ に対し，
$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^\infty \chi(n)n^{-s}$
とおく．系1.2より，これは $s>1$ で収束する．

命題5.3
$\chi\neq\chi_0$ のとき， $L(s, \chi)$ は $s>0$ で広義一様収束する．

証明
命題4.2(2)より， $A_{k,\,k'}=\sum_{n=k}^{k'}\chi(n)$ は有界．
$\sum_{n=k}^{k'}\chi(n)n^{-s}=A_{k, k}k^{-s}+\sum_{n=k+1}^{k'}(A_{k, n}-A_{k, n-1})n^{-s}$
$=\sum_{n=k}^{k'-1}A_{k, n}(n^{-s}-(n+1)^{-s})+A_{k, k'}{k'}^{-s}.$
$|A_{k,\,k'}|\leq M$ とすると，
$|\sum_{n=k}^{k'}\chi(n)n^{-s}|\leq M(\sum_{n=k}^{k'-1}(n^{-s}-(n+1)^{-s})+{k'}^{-s})=Mk^{-s}\to 0\quad (k\to \infty).$
これは $s_0>0$ に対し， $s\geq s_0$ で一様収束．
したがって $\sum_{n=1}^k \chi(n)n^{-s}$ は Cauchy 列で， $L(s, \chi)$ は $s\geq s_0$ で一様収束．//

命題5.4 $s>1$ に対し，
$L(s, \chi)=\prod_{p\in P, p\not| m}(1-\chi(p)p^{-s})^{-1}.$
$\chi\neq\chi_0$ のときは $s>0$ で成立する．

証明素因数分解の存在と一意性より．//

算術級数定理の証明においては，次の定理が本質的である．証明は第6節で与える．

定理5.5 $\chi \neq \chi_0$ に対し， $L(1, \chi)\neq 0.$

Dirichlet 指標 $\chi$ に対し，
$f(s, \chi)=\sum_{p\in P, p\not| m}\chi(p)p^{-s}$
とおく．命題1.6，補題4.3(1)より，これは $s>1$ で収束する．

補題5.6
$s>1$ に対し，
$\sum_{p\in P(a)}p^{-s}=\frac{1}{\hat{\varphi}(m)}\sum_{\chi\in \hat{G}}\chi(a)^{-1}f(s, \chi).$

証明
命題4.8より，
$\sum_{\chi\in \hat{G}}\chi(a)^{-1}f(s, \chi)=\sum_{\chi\in \hat{G}}\sum_{p\in P, p\not| m}\chi(a)^{-1}\chi(p)p^{-s}=\sum_{p\in P, p\not| m}\sum_{\chi\in \hat{G}}\chi(\bar{a}^{-1}\bar{p})=\hat{\varphi}(m)\sum_{p\in P(a)}p^{-s}.$ //

補題5.7
(1) $f(s, \chi_0)\sim \sum_{p\in P}p^{-s}\quad (s\to 1+0).$
(2) $\chi \neq \chi_0$ に対し， $s\to 1+0$ で $f(s, \chi)$ は有界．

証明
(1) $f(s, \chi_0)=\sum_{p\in P, p\not| m}p^{-s}.$
$m$ を割り切る素数は有限個．命題1.5(2)より結論がしたがう．

(2) $s>1$ に対し，
$\log L(s, \chi) =-\sum_{p\in P}\log (1-\chi(p)p^{-s}) =\sum_{p\in P}\sum_{k=1}^\infty \chi(p)^kp^{-ks} =f(s, \chi)+\sum_{p\in P}\sum_{k=2}^\infty \chi(p)^kp^{-ks}.$
$s\to 1+0$ のとき，定理5.5より左辺は有界，命題1.5(2) の証明と同様に右辺第2項は有界．//

補題5.6，5.7より，次がしたがう．

定理5.8
(1) $\sum_{p\in P(a)}p^{-s}\sim \frac{1}{\hat{\varphi}(m)} \sum_{p\in P}p^{-s} \quad (s\to 1+0)$
(2) （算術級数定理） $P(a)$ は無限集合．
(3) $\hat{\varphi}(m)=\varphi(m).$

(3) は直接的に示すことができるし，その方が普通ではあるが．