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佐藤超関数

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$\mathbb{R}^n$ 上の佐藤超関数すべてのベクトル空間は，
$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \begin{cases} \mathcal{O}(\mathbb{C}\smallsetminus \mathbb{R})/\mathcal{O}(\mathbb{C})& n=1\\ H^{n-1}(\mathbb{C}^n\smallsetminus \mathbb{R}^n,\,\mathcal{O}) & n\geq 2.\end{cases}$

n=1 と n>1 で場合分けせずに書くには，相対コホモロジーを用いる．これが本来の定義．
$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)= H^n_{\mathbb{R}^n} (\mathbb{C}^n,\,\mathcal{O}).$
台が Rⁿ に含まれる切断だけを集める操作を，構造層 O に quasi-iso な flabby 層の複体に対しておこなう．

とする．
- 構造層 $\mathcal{O}_Z$ の flabby resolution $\{\mathcal{F}^p\}_{p\geq 0}$ は， $j_*\mathcal{O}_{Z\smallsetminus X}$ の flabby resolution $\{\mathcal{F}^p_{Z\smallsetminus X}\}_{p\geq 0}$ を誘導する．
- canonical epi $\mathcal{F}^p\to \mathcal{F}^p_{Z\smallsetminus X}$ の核を $\mathcal{K}^p$ とするとき，
  開集合 $U\subset Z$ に対し，複体 $\{\mathcal{K}^p(U)\}$ の p 次コホモロジーを
  $H^p_X (U,\,\mathcal{O})$
  と書く．
- ここで，層の複体 $\{\mathcal{K}^p\}$ が出てきている．
- 短完全列
  $0\to \mathcal{K}^p(U)\to \mathcal{F}^p(U)\to \mathcal{F}^p_{Z\smallsetminus X}(U)\to 0$
  の誘導する長完全列
  $H^p_X (U,\,\mathcal{O}) \to H^p (U,\,\mathcal{O}) \to H^p (U\smallsetminus X,\,\mathcal{O})\underset{+1}{\to}$
  と消滅定理
  $H^p (Z,\,\mathcal{O})=0\quad (p\neq 0)$
  より，
  $H^n_X (Z,\,\mathcal{O})= \begin{cases} \mathcal{O}(\mathbb{C}\smallsetminus \mathbb{R})/\mathcal{O}(\mathbb{C})& n=1\\ H^{n-1}(\mathbb{C}^n\smallsetminus \mathbb{R}^n,\,\mathcal{O}) & n\geq 2\end{cases}$
  が得られる．
- 消滅定理
  $H^p_X (Z,\,\mathcal{O})=0\quad (p<n).$
  n>1, p=1 の場合，これは
  $\mathcal{O}(\mathbb{C}^n)\to \mathcal{O}(\mathbb{C}^n\smallsetminus \mathbb{R}^n)$
  が同型であることを意味する．