yoshitake-hのブログ

A. H. Stone の定理

math

定理　距離空間はパラコンパクトである．

証明 (Mary E. Rudin)

距離空間 $(X,\,d)$ の開被覆を $\{ U_\alpha\}_{\alpha \in I}$ とする．
$I$ は整列されているとする．

点 $a\in X$ の $r$ 開近傍を $U(a,\,r)$ で表す．

自然数に対し，

を次のように帰納的に定義する．
- $V_{\alpha,\,n} = \bigcup_{x_0\in C(\alpha,\,n)} U(x_0,\,2^{-n}).$
- は次をみたす点全体の集合である．
  1. $U(x_0,\, 3\cdot 2^{-n})\subset U_\alpha.$
  2. $x_0\not\in \bigcup_{\alpha'<\alpha} U_{\alpha'}.$
  3. $x_0\not\in \bigcup_{j<n} \bigcup_{\beta \in I} V_{\beta,\,j}.$

以下， $\{ V_{\alpha,\,n}\}$ が $\{ U_\alpha\}$ の局所有限な細分であることを示す．

$V_{\alpha,\,n}$ は開集合の和なので開集合．

1. より， $V_{\alpha,\,n}\subset U_\alpha.$

被覆であること．
- $x_0 \in X$ に対し， $x_0 \in U_\alpha$ となる最小の $\alpha$ を取る．
- $U(x_0,\, 3\cdot 2^{-n})\subset U_\alpha$ となる $n$ を取る．
- 3. より， $x_0 \in C(\alpha,\,n)\subset V_{\alpha,\,n}$ かまたは $x_0 \in V_{\beta,\,j},\, j<n.$

Claim
に対し，
- 証明． $x_0 \in C(\beta,\,n),\, y_0 \in C(\gamma,\,n)$ が存在して，
  $x \in U(x_0,\, 2^{-n}),\, y\in U(y_0,\, 2^{-n}).$
  2. より $y_0\not\in U_\beta .$
  よって 1. より， $d(x_0,\,y_0)\geq 3\cdot 2^{-n}.$
  ゆえに， $d(x,\,y)> 3\cdot 2^{-n}- 2^{-n}-2^{-n} = 2^{-n}.$

局所有限性．
- $x \in V_{\alpha,\,n}$ に対し， $U(x,\,2\cdot 2^{-k}) \subset V_{\alpha,\,n}$ となる $k> n$ を取る．
- となるのがいつなのかを考える．
  - 各 $i=1,\,\dots,\, k-1$ に対し，Claim より，そのような $\beta$ はそれぞれたかだか1つ．
  - $i\geq k$ ならば，3.より， $y_0 \in C(\beta,\,i)$ に対し， $y_0 \not\in V_{\alpha,\,n}\supset U(x,\,2\cdot 2^{-k}).$
    よって $y\in V_{\beta,\,i}$ に対し，
    $d(y,\, y_0)<2^{-i}\leq 2^{-k},$
    $d(x,\, y)> 2\cdot 2^{-k}-2^{-k} =2^{-k}.$
    ゆえに $U(x,\,2^{-k})\cap V_{\beta,\,i}= \varnothing.$