代数的K理論 (1) - yoshitake-hのブログ

$\mathit \Lambda$ を単位元をもつ環とする．
対角成分が1の正方行列で，非対角成分が1つを除いて0であるものを elementary 行列 とよぶ．
elementary 行列で生成される
$\mathrm{GL}({\mathit \Lambda}) =\bigcup_{n\ge 1} \mathrm{GL}_n({\mathit \Lambda}),\quad \mathrm{GL}_n({\mathit \Lambda})\subset \mathrm{GL}_{n+1}({\mathit \Lambda}),\quad A\mapsto \begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
の部分群を $\mathrm{E}({\mathit \Lambda})$ とする．

$\mathrm{GL}({\mathit \Lambda})$ に属する，対角成分が1の上三角行列，対角成分が1の下三角行列は $\mathrm{E}({\mathit \Lambda})$ に属する．

補題
$A\in \mathrm{GL}_n({\mathit \Lambda})$ に対し，
$\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^{-1} \end{bmatrix}\in \mathrm{E} ({\mathit \Lambda} ) .$

証明
$\begin{bmatrix}I & A \\ O & I\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I & O \\ -A^{-1} & I\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I & A \\ O & I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}O & A \\ -A^{-1} & O\end{bmatrix} \in \mathrm{E}({\mathit \Lambda} ).$
$A=-I$ とおくと，
$\begin{bmatrix}O & -I \\ I & O\end{bmatrix} \in \mathrm{E} ({\mathit \Lambda} ).$

よって
$\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^{-1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}O & A \\ -A^{-1} & O\end{bmatrix}\begin{bmatrix}O & -I \\ I & O\end{bmatrix}\in \mathrm{E} ({\mathit \Lambda} ) . //$

定理 (Whitehead)
$[\mathrm{GL}({\mathit \Lambda}),\; \mathrm{GL}({\mathit \Lambda}) ]=[\mathrm{E}({\mathit \Lambda}),\; \mathrm{E}({\mathit \Lambda}) ]=\mathrm{E}({\mathit \Lambda}).$

証明
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\lambda \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
より， $[\mathrm{E}({\mathit \Lambda}),\; \mathrm{E}({\mathit \Lambda}) ]\supset\mathrm{E}({\mathit \Lambda}).$

$A\in \mathrm{GL}_n({\mathit \Lambda})$ に対し，
$\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}B & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A^{-1}B^{-1} & O \\ O & BA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ABA^{-1}B^{-1} & O \\ O & I \end{bmatrix}.$
よって補題より， $[\mathrm{GL}({\mathit \Lambda}),\; \mathrm{GL}({\mathit \Lambda}) ]\subset\mathrm{E}({\mathit \Lambda}). //$