開写像原理 - yoshitake-hのブログ

Banach 空間から Banach 空間の上への有界線形作用素は開写像である．

証明
$X, Y$ を Banach 空間， $T:X\to Y$ を有界線形作用素で全射であるものとする．

$c>0$ が存在して， $TB_X(0,\,1)\supset B_Y(0,\,c)$ であることを言えばよい．

仮定より，
$\bigcup_{n=1}^\infty TB_X(0,\,n)=Y.$

$Y$ は完備なので， Baire のカテゴリー定理より， $n_0\in \mathbb{N},\, x_0\in X,\, c_0>0$ が存在して，
$\overline{TB_X(0,\,n_0)}\supset B_Y(Tx_0,\,c_0).$
よって
$\overline{TB_X(0,\,n_0+\Vert x_0\Vert)}\supset -Tx_0+\overline{TB_X(0,\,n_0)}\supset B_Y(0,\,c_0).$

$c_1=(n_0+\Vert x_0\Vert)^{-1}\,c_0$ とおくと，
$\overline{TB_X(0,\,1)}\supset B_Y(0,\,c_1).$
以下，これをくりかえし用いる．

任意の $y^*\in \overline{TB_X(0,\,1)}$ に対し， $x_1\in B_X(0,\,1)$ が存在して，
$\Vert y^*-Tx_1\Vert < \frac{c_1}2.$
さらに
$x_n\in B_X(0,\,\frac{1}{2^{n-1}})\quad (n\ge 2)$
が存在して，
$\Vert y^*-\sum_{k=1}^{n-1}Tx_k-Tx_n\Vert < \frac{c_1}{2^n}.$

$X$ は完備なので，
$x^*=\sum_{n=1}^\infty x_n$
は収束し， $x^*\in B_X(0,\,2),\quad Tx^*=y^*.$
したがって， $TB_X(0,\,2)\supset \overline{TB_X(0,\,1)}.//$