Plucker 関係式 - yoshitake-hのブログ

$\begin{vmatrix} a_1b_4-b_1a_4 & a_1 & b_1 \\ a_2b_4-b_2a_4 & a_2 & b_2 \\ a_3b_4-b_3a_4 & a_3 & b_3 \end{vmatrix}=0$
を第1列について展開すると，Plucker 関係式
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_4 & b_4\end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{vmatrix} -\begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_4 & b_4\end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_3 & b_3 \\ a_4 & b_4\end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}=0$
が得られる．

$\begin{vmatrix} a_1 \begin{vmatrix} b_5 & c_5 \\ b_6 & c_6 \end{vmatrix} -b_1 \begin{vmatrix} a_5 & c_5 \\ a_6 & c_6 \end{vmatrix} +c_1 \begin{vmatrix} a_5 & b_5 \\ a_6 & b_6 \end{vmatrix} & a_1 & b_1 & c_1 \\ \\ a_2 \begin{vmatrix} b_5 & c_5 \\ b_6 & c_6 \end{vmatrix} -b_2 \begin{vmatrix} a_5 & c_5 \\ a_6 & c_6 \end{vmatrix} +c_2 \begin{vmatrix} a_5 & b_5 \\ a_6 & b_6 \end{vmatrix} & a_2 & b_2 & c_2 \\ \\ a_3 \begin{vmatrix} b_5 & c_5 \\ b_6 & c_6 \end{vmatrix} -b_3 \begin{vmatrix} a_5 & c_5 \\ a_6 & c_6 \end{vmatrix} +c_3 \begin{vmatrix} a_5 & b_5 \\ a_6 & b_6 \end{vmatrix} & a_3 & b_3 & c_3 \\ \\ a_4 \begin{vmatrix} b_5 & c_5 \\ b_6 & c_6 \end{vmatrix} -b_4 \begin{vmatrix} a_5 & c_5 \\ a_6 & c_6 \end{vmatrix} +c_4 \begin{vmatrix} a_5 & b_5 \\ a_6 & b_6 \end{vmatrix} & a_4 & b_4 & c_4 \end{vmatrix}=0$
を第1列について展開すると，Plucker 関係式が得られる．

$A$ を $2n\times n$ 行列とし， $I\subset \{1,\,\dots,\,2n\}$ に対し， $A$ の第 $i\in I$ 行を取り出してできた $|I|\times n$ 行列を $A_I$ とする．
$i=1,\,\dots,\,n$ に対し， $|A_{i,\,n+2,\,\dots,\,2n}|=A_i\boldsymbol{b}$ を第1行に関する展開とする．
$|A_{1,\,\dots,\,n+1}\boldsymbol{b}\quad A_{1,\,\dots,\,n+1}|=0$
を第1列について展開すると，Plucker 関係式
$\sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1} |A_{i,\,n+2,\,\dots,\,2n}|\, |A_{\{1,\,\dots,\,n+1\}\smallsetminus \{i\} }|=0$
が得られる．