sin の n 倍角の積表示 - yoshitake-hのブログ

$\prod_{k=0}^{n-1}\sin (x+\frac{k\pi}n) =\frac{1}{2^{n-1}}\sin (nx).$

$n=2$ の場合，
$\sin(x)\sin(x+\frac{\pi}2) =\sin(x)\cos(x) =\frac{1}2\sin(2x).$

$f(x)=\prod_{k=0}^{n-1}\sin (x+\frac{k\pi}n)$
とおく．
これは， $\sin(x),\,\cos(x)$ の $n$ 次以下の多項式で書ける．

$\sin(x),\,\cos(x)$ の $n$ 次以下の多項式全体のなすベクトル空間を $V$ とする．
$V$ は $2n+1$ 個のベクトル $1,\,(\sin x)^k,\,(\sin x)^{k-1}(\cos x)\;(k=1,\,\dots,\,n)$ で生成される．
$\cos(kx)=\cos ( (k-1)x) \cos (x)-\sin( (k-1)x) \sin (x),$
$\sin(kx)=\cos ( (k-1)x) \sin (x)+\sin( (k-1)x) \cos (x)$
より， $\cos (kx),\,\sin (kx)\in V\;(k=1,\,\dots,\,n).$
$V$ 上の内積
$(f,\,g)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\quad (f,\,g\in V)$
に関し， $2n+1$ 個のベクトル
$1,\,\cos(kx),\,\sin(kx)\;(k=1,\,\dots,\,n)$
はたがいに直交し，ノルムは0でない．よってこれらは $V$ の基底である．

よって $f(x)$ は $1,\,\cos(kx),\,\sin(kx)\;(k=1,\,\dots,\,n)$ の1次結合．

$f(-x)=-f(x)$
より， $f(x)$ は $\sin(kx)\;(k=1,\,\dots,\,n)$ の1次結合．

$f(x+\frac{\pi}n)=-f(x).$

$k=1,\,\dots,\,n-1$ に対し，
$\cos(k(x+\frac{\pi}n) ),\,\sin(k(x+\frac{\pi}n) )$
は $\cos(kx),\,\sin(kx)$ の1次結合で，係数の行列
$\begin{pmatrix} \cos\frac{k\pi}n & -\sin\frac{k\pi}n \\ \sin\frac{k\pi}n & \cos\frac{k\pi}n \end{pmatrix}$
は固有値 −1 をもたない．

したがって， $f(x)=C_n\sin(nx).$

$\sin(mnx) ={C_n}^{-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin (mx+\frac{k\pi}n) ={C_n}^{-1}{C_m}^{-n}\prod_{k=0}^{mn-1}\sin (x+\frac{k\pi}{mn}) .$
よって， $C_{mn}=C_n{C_m}^n.$
ゆえに， ${C_m}^{n-1} ={C_n}^{m-1}.$
$C_2=\frac{1}2$ より， $C_n=\frac{1}{2^{n-1}}.$