yoshitake-hのブログ

球面直角三角形

math

球面三角形 $ABC$ において $a,\,b,\,c$ をそれぞれ弧 $BC,\,CA,\,AB$ の長さとする．
角 $C$ が直角であるとする．

点 $B$ から $OA,\,OC$ に下ろした垂線の脚を $A',\,C'$ とすると， $BC'\perp OA',\quad OA'\perp A'B$ より，
$OA'\perp A'C'.$

$OC'=\cos a,\quad OA'=\cos c,\quad OA'\perp A'C'$ より，

定理1（球面ピタゴラスの定理）
角 $C$ が直角であるような球面三角形 $ABC$ に対し，
$\cos c = \cos a \cdot\cos b.$

$OA'\perp A'B',\quad OA'\perp A'C$ より， $\angle BA'C'=\angle A.$
よって
$BC'\perp C'A',\quad BA' = \sin c ,\quad BC' = \sin a, \\ A'C'=OC'\sin b=\cos a \cdot \sin b$
より，

定理2 角 $C$ が直角であるような球面三角形 $ABC$ に対し，
$\sin A = \frac{\sin a}{\sin c},\quad \cos A=\frac{\cos a \cdot\sin b}{\sin c}.$