初等解析学II

• 曲面のパラメータ表示．曲面の面積．スカラー場（面密度）の面積分．
• ベクトル場の面積分に向けて．
  • ベクトル場の線積分は有向曲線に対して定義された．ベクトル場の面積分は有向曲面に対して定義される．
  • 曲線の向きはわかりやすいが，曲面の向きは説明しにくい．
  • ベクトル場の線積分の理解には，仕事という物理量に対する感覚が役に立つ．ベクトル場の面積分の理解には，電磁場に対する感覚が役に立つ．
  • ベクトル場の線積分は熱力学の理解への鍵．ベクトル場の面積分は電磁気学の理解への鍵．
  • 1変数関数の積分の変数変換では，ヤコビアンに絶対値がつかない．1変数関数の積分が有向区間に対して定義されていたことに注意．
  • 2変数関数の積分の変数変換では，ヤコビアンに絶対値がつく．重積分では積分する領域の向きを考えなかった．
  • 積分する領域の向きを考えることにより，2変数関数の積分の変数変換でも，ヤコビアンに絶対値がつかないようにすることができる．
  • このとき，ヤコビアンは2つの変数を入れかえると -1 倍になるので，dy dx = - dx dy という規則を導入する必要がある．