全有界

全有界　⇔　任意の点列が Cauchy 部分列をもつ．

• ⇐ ：可算選択公理を用いる．
  全有界でないとすると， と点列 が存在して， となる．

• ⇒ ：可算選択公理と対角線論法を用いる．
  任意の点列に対し，その部分列で 1-ball に入るものをとり，その部分列で (1/2)-ball に入るものをとり，その部分列で (1/3)-ball に入るものをとり，という操作を続ける．n 番目の部分列の第 n 項をとると，Cauchy 列が得られる．