表現可能関手 - yoshitake-hのブログ

任意の前層は表現可能関手の帰納極限として書けるが，表現可能関手の射影極限には条件がつく．

圏 $C$ 上の前層の圏を $\hat{C}$ とする．
$K\in \hat{C}$ に対し，圏 $J_K$ を次のように定義する．

対象は $(a,\,x)\;(a\in C,\;x\in K(a) )$ ．

射　 $f:(a,\,x)\to (b,\,y)$ は $f\in C(a,\,b)$ で $Kf(y)=x$ をみたすもの．

関手 $\pi_K:J_K\to \hat{C}$ を $\pi_K(a,\,x)=a$ で定義する．
$L\in \hat{C}$ に対し， $\pi_K$ から定数関手 $L:J_K\to \hat{C}$ への自然変換全体の集合を $\mathrm{Nat}(\pi_K,\,L)$ とする．
自然な写像 $\hat{C}(K,\,L)\to \mathrm{Nat}(\pi_K,\,L)$ は逆をもつ．
$K=\underset{\to}\lim \pi_K.$