線形代数学２

Cayley-Hamilton の定理．固有値問題の演習．

n 次正方行列 B_i を係数とする t の多項式

と n 次正方行列 A に対し，

と定義する．

補題　n 次正方行列を係数とする t の多項式 F(t), G(t), H(t) = F(t)G(t) と n 次正方行列 A に対し，AF(t) = F(t)A ならば，F(A)G(A)=H(A).
証明　F(t) = t^pB, G(t) = t^qC の場合に示せばよい．このとき H(t) = t^p+qBC．仮定より AB = BA ．
ゆえに F(A)G(A) = A^pB A^qC = A^p+qBC = H(A). //

n 次正方行列 A に対し，f(t) = | tE-A | とおく．
tE-A の余因子行列を G(t) とすると，(tE-A) G(t) = f(t) E ．
A(tE-A)=(tE-A)A なので，補題より，
f(A) = (AE-A) G(A) = O.
Cayley-Hamilton の定理が証明された．