幾何学１

デザルグの定理．パップスの定理．

パップスの定理
直線 L₁ 上の点 P₁，P₂，P₃，直線 L₂ 上の点 P₄，P₅，P₆ に対し，
P₂P₆ と P₃P₅ の交点 P₇，P₁P₆ と P₃P₄ の交点 P₈，P₁P₅ と P₂P₄ の交点 P₉ は1直線上にある．

証明
直線 L₁，L₂， P₇P₈ の方程式をそれぞれ f₁ = 0，f₂ = 0，f₃ = 0，
直線 P₁P₅，P₃P₄， P₂P₆ の方程式をそれぞれ g₁ = 0，g₂ = 0，g₃ = 0，
直線 P₁P₆，P₂P₄， P₃P₅ の方程式をそれぞれ h₁ = 0，h₂ = 0，h₃ = 0 とする．

2変数3次多項式全体のなすベクトル空間は10次元．そのうち P₁∼P₈ で消えるものは2次元．
よって f₁f₂f₃ は g₁g₂g₃ と h₁h₂h₃ の1次結合になる．
よって f₁f₂f₃ は P₉ で消える．//