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測地線と Jacobi 方程式

math

Riemann 多様体 $(M,\, g,\, \nabla )$ 上の曲線 $\gamma :I\to M$ に対し，

$\partial_t\gamma =\mathrm{d}\gamma (\partial_t) \in \Gamma (I,\, \gamma^*TM)$

を $\gamma$ の速度ベクトル場という．

$\gamma$ の長さは

$\mathrm{Length}(\gamma) = \int_I \gamma^*g(\partial_t\gamma,\, \partial_t\gamma )^{1/2}|\mathrm{d}t|$

とあらわされる．これはパラメータのとり方によらない．

$\gamma |\partial I$ を固定して長さが最小となる $\gamma$ を求めたい．

$\gamma^*g(\partial_t\gamma,\, \partial_t\gamma )=1$ として（弧長パラメータ），

$E(\gamma) = \frac{1}{2} \int_I \gamma^*g(\partial_t\gamma,\, \partial_t\gamma )|\mathrm{d}t|$

が最小となる $\gamma$ を求めればよい．

$\gamma^*g(\partial_t\gamma,\, \partial_t\gamma )=1$ という制限なしに $E(\gamma)$ を最小にする $\gamma$ のみたすべき条件を求める．

$D_t = (\gamma^*\nabla)_{\partial_t}$ とおく．

$\gamma :I\times (-\varepsilon,\, \varepsilon )\to M$ に対し，

$\partial_u E(\gamma) = \frac{1}{2} \int_I \partial_u (\gamma^*g(\partial_t\gamma,\, \partial_t\gamma ) )|\mathrm{d}t|$

$= \int_I \gamma^*g(D_u\partial_t\gamma,\, \partial_t\gamma )|\mathrm{d}t|$

$= \int_I \gamma^*g(D_t\partial_u\gamma,\, \partial_t\gamma )|\mathrm{d}t|$

$= \int_I \left\{ \partial_t (\gamma^*g(\partial_u\gamma,\, \partial_t\gamma ) ) - \gamma^*g (\partial_u\gamma,\, D_t\partial_t\gamma )\right\} |\mathrm{d}t|.$

$D_t\partial_t\gamma =0$ をみたす $\gamma$ を測地線という．これに対し， $\partial_t (\gamma^*g (\partial_t\gamma,\, \partial_t\gamma) ) =0.$

$D_uD_t\partial_t\gamma =0$ とすると，

$D_uD_t\partial_t\gamma = D_tD_u\partial_t\gamma + [D_u,\, D_t] \partial_t\gamma = D_tD_t\partial_u\gamma + R^{\gamma^*\nabla} (\partial_u\gamma,\, \partial_t\gamma) \partial_t\gamma$

より，

$D_tD_t\partial_u\gamma + R^{\gamma^*\nabla} (\partial _u\gamma,\, \partial_t\gamma) \partial_t\gamma =0.$

$J \in \Gamma (I,\,\gamma^*TM)$ に対し，

$D_tD_tJ+ R^{\gamma^*\nabla} (J,\, \partial_t\gamma) \partial_t\gamma =0$

を Jacobi 方程式という．