線形代数学１

行列の簡約化．

• 定義　「各行の0でない1番左の成分」を含む列が，左から順に， であるような行列を，簡約行列 という．
  • このとき，それ以外の列は，自分より左にある列の1次結合で書ける．
  • したがって，簡約行列であることは，「自分より左にある列の1次結合で書けない列」が左から順に， である，という条件に同値．
  • ただし，第1列については，「自分より左にある列の1次結合で書けない」とは0ベクトルでないことと定める．

• 定理　任意の行列は，行基本変形により簡約行列に直せる．これを 行列の簡約化 という．

• 証明 行基本変形により，以下の操作をおこなうことができる．
  • 0ベクトルではない1番左の列を， にする．
  • のスカラー倍でない1番左の列を， にする．それより左の列は変えないようにする．
  • の1次結合で書けない1番左の列を， にする．それより左の列は変えないようにする．
  • の1次結合で書けない1番左の列を， にする．それより左の列は変えないようにする．
  • 以下同様につづければ，簡約行列が得られる．

• 定理　行列の簡約化は，もとの行列に対し，ただ1つ定まる．

• 証明
  • 行基本変形でうつりあう2つの簡約行列が一致することをいえばよい．
  • ある列が自分より左にある列の1次結合で書けるかどうか，および自分より左にある列の1次結合で書いたときの係数は，行基本変形によって不変である．
  • 簡約行列において，「自分より左にある列の1次結合で書けない列」は，左から順に， である．したがって，行基本変形でうつりあう2つの簡約行列の「自分より左にある列の1次結合で書けない列」は一致する．
  • 簡約行列において，「自分より左にある列の1次結合で書ける列」の成分は，その列を「自分より左にある列の1次結合で書けない列」 の1次結合で書いたときの係数である．したがって，行基本変形でうつりあう2つの簡約行列の「自分より左にある列の1次結合で書ける列」は一致する．