実数の構成 - yoshitake-hのブログ

$O=\{x\in \mathbb{Q}\mid x>0\}$ とおき，
$X,\,Y\subset \mathbb{Q}$ に対し，
$X+Y = \{x+y\mid x\in X,\; y\in Y\},$
$-X = \{x\in \mathbb{Q} \mid \forall y\in X,\; x+y>0\}+O$
とおくと，
$\mathbb{R} = \{X\mid X\subsetneq \mathbb{Q},\; X\ne \varnothing,\; X+O=X\}$
は，包含関係について全順序集合，加法についてアーベル群になる．
$X,\,Y\subset O$ に対し， $XY=\{xy\mid x\in X,\;y\in Y\},$
$X\subset O\subset Y$ に対し， $XY=-\{xy\mid x\in X,\;y\in -Y\},$
$X,\,Y\supset O}$ に対し， $XY=\{xy\mid x\in -X,\;y\in -Y\}$ とおくと， $\mathbb{R}$ は体になる．