線形代数学２ - yoshitake-hのブログ

対称行列は直交行列によって対角化できる．

対称行列が実固有値をもつことを認めて証明する．
$n$ 次対称行列 $A$ に対し， $Au_1=\lambda u_1$ とし，
$u_1,\,u_2,\,\dots,\,u_n$ が $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底であるとする．
$P=(u_1\; \cdots \; u_n)$ とおくとこれは直交行列で， $^tPAP$ が対称行列であることより，
$^tPAP = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix},\quad ^tB=B.$
行列のサイズが小さい場合に帰着された．