米田の補題 - yoshitake-hのブログ

小圏 $I$ 上の前層の圏を $\widehat{I}=\mathcal{H}om(I^\circ ,\,\mathrm{Set})$ とする．
$h(i)=\mathrm{Hom}_I(-,\,i)\in \widehat{I}\qquad (i\in I)$
$h(f)=f\circ -: \mathrm{Hom}_I(-,\,i)\to \mathrm{Hom}_I(-,\,j) \qquad (f\in \mathrm{Hom}_I(i,\,j))$
とおくと，関手 $h=h_I: I\to \widehat{I}$ が定まる．

関手 $u:I\to C$ に対し，関手 $u^\sharp :C\to \widehat{I}$ を
$u^\sharp (x)=\mathrm{Hom}_C(u(-),\,x)\in \widehat{I}\qquad (x\in C)$
$u^\sharp (f)=f\circ -: \mathrm{Hom}_C(u(-),\,x)\to \mathrm{Hom}_C(u(-),\,y)\qquad (f\in \mathrm{Hom}_C(x,\,y))$
によって定義する．

$h:I\to \widehat{I}$ の場合，関手 $h^\sharp :\widehat{I}\to \widehat{I}$ は，
$h^\sharp (F)=\mathrm{Hom}_{\widehat{I}}(h(-),\,F)\in \widehat{I}\qquad (F\in \widehat{I})$
と書ける．

$i\in I,\; F\in \widehat{I}$ に対し， $\{\varphi_j\}_{j\in I} \in \mathrm{Hom}_{\widehat{I}}(h(i),\,F)$ は，写像
$\varphi_j: \mathrm{Hom}_I(j,\,i)\to F(j)$
の族であって，任意の $j'\to j$ に対し，
$\begin{array}{ccc} \mathrm{Hom}_I(j,\,i)& \to & F(j)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Hom}_I(j',\,i)& \to & F(j')\end{array}$
が可換になるものである．

$F\in \widehat{I}$ に対し，自然変換
$b_{F,\,i}=\{b_{F,\,i,\,j}\}_{j\in J}: \mathrm{Hom}_I(-,\,i)\times F(i)\to F$
を
$b_{F,\,i,\,j}(f,\,a) =F(f)a\qquad (f\in \mathrm{Hom}_I(j,\,i))$
で定義する．

定理　写像
$s_{F,\,i}: \mathrm{Hom}_{\widehat{I}}(h(i),\,F)\to F(i)\qquad \{\varphi_j\}_{j\in I}\mapsto \varphi_i (1_i)$
$t_{F,\,i}: F(i)\to \mathrm{Hom}_{\widehat{I}}(h(i),\,F) \qquad a\mapsto \{b_{F,\,i,\,j}(-,\,a)\}_{j\in I},$
はたがいに逆であり，これらは $\mathcal{H}om(\widehat{I},\,\widehat{I})$ における自然同型
$s:h^\sharp \to 1_{\widehat{I}},\qquad t:1_{\widehat{I}}\to h^\sharp$
をあたえる．

証明
(1) $s_{F,\,i}t_{F,\,i}=1_{F(i)}$
$F(1_i)a=a$ より．
(2) $t_{F,\,i}s_{F,\,i}=1_{\mathrm{Hom}_{\widehat{I}}(h(i),\,F)}$
$F(f)(\varphi_i(1_i))=\varphi_j(f)$ をいえばよい．これは，
$\begin{array}{ccc} \mathrm{Hom}_I(i,\,i)& \to & F(i)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Hom}_I(j,\,i)& \to & F(j)\end{array}$
が可換になることからしたがう．//