Derivators - yoshitake-hのブログ

圏のなす弱2圏を $\mathrm{CAT}$ ，小圏のなす弱2圏を $\mathrm{Cat}$ と書く．
$\mathrm{Cat}$ の部分2圏 $\mathcal{D}ia$ を，ある条件（有限順序集合の圏を含む，コンマ圏や opposite をとる操作に関して閉じている，など）をみたすものとする．
強2関手 $\mathbb{D}: \mathcal{D}ia^\circ \to \mathrm{CAT}$ を prederivator という．

$\mathcal{D}ia$ の射 $u:I\to J$ に対応する $\mathrm{CAT}$ の射 $u^*: \mathbb{D}(J)\to \mathbb{D}(I)$ が左随伴，右随伴 $u_*,\,u_!: \mathbb{D}(I)\to \mathbb{D}(J)$ をもち，さらにある条件をみたすとき， $\mathbb{D}$ を derivator という．

アーベル圏 $\mathcal{A}$ および $I\in \mathcal{D}ia$ に対し，
$\mathbb{D}_\mathcal{A}(I) =D^b(\mathrm{Hom}(I,\,\mathcal{A}))$
と対応させると， $\mathbb{D}_\mathcal{A}$ は derivator になる．

$\mathcal{D}ia$ の終対象 $e$ への射を $p_I:I\to e$ とする．
$I\in \mathcal{D}ia,\,F\in \mathbb{D}(I)$ に対し，
$\mathrm{H}^*(I,\,F) =(p_I)_*(F) \in \mathbb{D}(e),$
$\mathrm{H}_*(I,\,F) =(p_I)_!(F) \in \mathbb{D}(e)$
とおく．

derivator $\mathbb{D}$ に対し，モデル圏の安定性に相当する条件を課したものを三角 derivator という．このとき $\mathbb{D}(e)$ は三角圏になる．