Arzelà の定理 - yoshitake-hのブログ

Arzelà の定理　閉区間 $I=[a,\,b]$ 上の一様有界な連続関数列 $\{f_n(x)\}$ が連続関数 $f(x)$ に収束するとき，
$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)dx.$

（２）（Dini の定理） $\{f_n(x)\}$ が非増大列の場合， $\varepsilon>0$ を固定すると，
$U_n=\{x\in I\mid f_n(x)-f(x)<\varepsilon\}$
は $I$ の開集合の非減少列で，
$\bigcup_{n=1}^\infty U_n=I.$ はコンパクトなので， $n_0$ が存在して $I=U_{n_0}.$
したがって $f_n\to f$ は一様収束．よって（１）より結論が言える．

（３）一般の場合，
$|f_n(x)|\leq M\quad (n=1,2,\dots,\quad x\in I)$
とする．
$g(x)\leq \sup \{|f_k(x)-f(x)|\mid k\geq n\}$
となる連続関数 $g$ 全体の集合を $A_n$ とおく．

（４）このとき任意の関数列 $\varphi_n\in A_n$ は各点で0に収束する．

（５） $g\in A_n$ ならば $g(x)\leq 2M$ なので
$S_n=\sup \{\int_a^bg(x)dx\mid g\in A_n\}$
が存在する． $|f_n-f|\in A_n$ より，
$\left|\int_a^bf_n(x)dx-\int_a^bf(x)dx\right|\leq \int_a^b|f_n(x)-f(x)|dx\leq S_n.$
よって
$\lim_{n\to\infty}S_n=0$
を言えばよい．

（６） $g_n\in A_n$ を
$\int_a^bg_n(x)dx>S_n-\frac{\varepsilon}{2^n}$
となるようにとり，
$h_n(x)=\min\{g_1(x),\,\dots,\,g_n(x)\}$
とおくと， $h_n(x)\in A_n.$
よって $\{h_n(x)\}$ は各点で0に収束する連続関数の非増大列なので，（２）より
$\lim_{n\to\infty}\int_a^bh_n(x)dx=0.$

（７）一方，
$\mu_n=\max\{h_{n-1},g_n\}\in A_{n-1}$ より，
$\int_a^bh_ndx=\int_a^b(g_n+h_{n-1}-\mu_n)dx> S_n-\frac{\varepsilon}{2^n}+\int_a^bh_{n-1}dx-S_{n-1}.$
よって帰納法により，
$\int_a^bh_n(x)dx>S_n-\sum_{k=1}^n\frac{\varepsilon}{2^k}>S_n-\varepsilon.$

したがって
$\lim_{n\to\infty}S_n=0.//$
（小平邦彦「解析入門」岩波書店）