Griess, Twelve Sporadic Groups, Springer, 1998

hexacode の章を少し読む．hexacode の存在と一意性は，行列の基本変形でやった方がわかりやすいと思った．
hexacode とは， $\mathbb{F}_4^6$ の 3 次元部分空間で，標準的エルミート内積に対し self-orhogonal，かつ最小ウェイト（non-zero ベクトルの non-zero 成分の最小個数）が 4 のもののこと．
$\mathbb{F}_4=\{0,\,1,\,\omega,\,\bar{\omega}\}$ とする． $\bar{\omega}=\omega^2,\;\omega+\bar{\omega}+1=0$ である．
hexacode の基底をならべたものを 3×6 行列で書くと，最小ウェイトが 4 なので，行基本変形により，
$\begin{array}{cccccc}1&0&0&*&*&*\\0&1&0&*&*&*\\0&0&1&*&*&*\end{array}$
とできる．対角行列を右からかけて，
$\begin{array}{cccccc}1&0&0&1&1&1\\0&1&0&*&*&*\\0&0&1&*&*&*\end{array}$
とできる．self-orthogonality より，対角行列を両側からかけて，
$\begin{array}{cccccc}1&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&\omega&\bar{\omega}\\0&0&1&1&\bar{\omega}&\omega\end{array}\)\;\mbox{or}\;\(\begin{array}{cccccc}1&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&\bar{\omega}&\omega\\0&0&1&1&\omega&\bar{\omega}\end{array}$
とできる．これは hexacode になる．
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20080516