Catalan 数と Polish notation
むかし，Catalan 数がある円順列に等しいことが Polish notation によって説明できることに気がついたが，調べてみたらすでに知られていた．
David Singmaster, An elementary evaluation of the Catalan numbers, American Math. Monthly 85 (1978) 366–368
Catalan 数 Cn とは，2項演算によって n+1 個のものの積をつくるときの括弧のつけ方の個数．
積を Polish notation で書くと，n+1 個の項（a と書く）と n 個の演算記号（* と書く）の列になる．
この列は次の条件をみたす：「左から見ていくとき，項が演算記号より多くなるのは最後だけ」．
一方，n+1 個の項と n 個の演算記号をまるくならべるとき，上の条件をみたすように切れる場所がただ1つあることがわかる．
（*aa を1つの項と見なせば，*aa の途中で切ることはできないから，数学的帰納法が適用できる．）
また，n と 2n+1 がたがいに素なので，切る場所が異なるとならび方が異なる．
したがって，Cn=2n+1Cn/(2n+1)=2nCn/(n+1)．
