Eisenstein の判定条件 - yoshitake-hのブログ

補題有理数係数モニック多項式 $g, h$ の積 $gh$ の係数がすべて整数ならば， $g, h$ の係数もすべて整数．

証明 $gh$ の根が代数的整数なので，根と係数の関係より $g, h$ の係数もすべて代数的整数．
代数的整数かつ有理数ならば整数．//

定理素数 $p$ で割り切れる整数 $a_0,\,\dots,\,a_{n-1}$ に対し， $a_0$ が $p^2$ で割り切れないならば， $f(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$ は有理数係数多項式として既約．

証明有理数係数モニック多項式 $g, h\neq 1$ によって $f=gh$ と書けるとすると，補題より， $g, h$ は整数係数．
$f(X)\equiv X^n \mathrm{mod} p$ より， $g, h$ の最高次以外の係数は $p$ で割り切れる．
これは $a_0$ が $p^2$ で割り切れないことに反する．//