代数学の基本定理

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複素数係数の多項式 P(X)=X^n+a_1X^{n-1}+\cdots +a_n に対し，
P(\alpha )=0 をみたす複素数 \alpha が存在する．

証明には，回転数を用いるトポロジー的なもの，最大値原理を用いる関数論的なものなどがあるが，中間値の定理を用いる代数的な証明にも独特の味がある．
(1) 実数係数の場合に帰着する．
\bar{P}(X)=X^n+\bar{a}_1X^{n-1}+\cdots +\bar{a}_n
とおくと，P(X)\bar{P}(X) は実数係数．
P(\alpha)\bar{P}(\alpha)=0 ならば，P(\alpha)=0 または P(\bar{\alpha})=0.


(2) 実数係数，奇数次の場合
\lim_{x\to \infty}P(x)=\infty,\quad \lim_{x\to -\infty}P(x)=-\infty.
よって中間値の定理より，P(\alpha )=0 となる実数 \alpha がある．


(3) n が2の何乗で割れるかに関する帰納法．ここが技巧的でおもしろい．
P(X)=(X-\alpha_1)\cdots (X-\alpha_n)
とおく．実数 t に対し，
[tex:Q_t(X)=\prod_{j