一様有界性定理

math

Banach 空間 X からノルム空間 Y への有界線型作用素の族を \mathcal{T} とする．
任意の x\in X に対し \{||Tx||\quad ;\quad T\in \mathcal{T}\} が有界ならば，
\{||T|| \quad ;\quad T\in \mathcal{T}\} は有界．

証明．
\{||T|| \quad ;\quad T\in \mathcal{T}\} が有界でないとする．
T_n\in \mathcal{T},\quad x_n\in X\quad (n=1,2,3,\dots ) を，つぎのように帰納的にとることができる．

  • T_1\in \mathcal{T} を任意にとる．
  • T_n に対し，x_n\in X を
    ||T_nx_n||\geq \frac{2}{3} ||T_n||\quad ||x_n||,\quad ||x_n||=4^{-n}
    をみたすようにとる．
  • x_1,\dots,x_{n-1} に対し，仮定より
    M_{n-1}=\mathrm{sup}\{||T(x_1+\cdots +x_{n-1})||\quad ;\quad T\in \mathcal{T}\}
    とおき，T_n\in \mathcal{T} を
    ||T_n||\geq 3\cdot 4^n(M_{n-1}+n)
    をみたすようにとる．

このとき，x=x_1+x_2+\cdots は収束し，
||T_nx|| \geq ||T_nx_n||- ||T_n(x_1+\cdots +x_{n-1})|| - ||T_n(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots )|| .
\quad ||T_nx_n||\geq \frac{2}{3}||T_n||\quad ||x_n||,
\quad ||T_n(x_1+\cdots +x_{n-1})|| \leq M_{n-1},
\quad ||T_n( x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots )|| \leq ||T_n||\quad ||x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots || \leq \frac{1}{3} ||T_n||\quad ||x_n||.
したがって，
||T_nx|| \geq \frac{1}{3} ||T_n||\quad ||x_n|| - M_{n-1} \geq n.
よって \{||Tx||\quad ;\quad T\in \mathcal{T}\} は有界でないので，仮定に反する．//