Dirichlet の算術級数定理（４）

math

4. \chi

定義4.1
群 G から群 \mathbb{C}^\times への準同型を，G の 指標 と言う．

G の指標全体の集合を \hat{G} と書く．

命題4.2
(1) \chi_0 :G\to \mathbb{C}^\times を \chi_0 (x)=1 によって定義すると，これは指標．\chi_0 を単位指標と言う．
(2) 有限 Abel 群 G と指標 \chi \neq \chi_0 に対し，
\sum_{x\in G}\chi(x)=0.
また，\sum_{x\in G}\chi_0(x)=\sharp G.

証明
(1) 容易．
(2) \chi(x_1)\neq 1 となる x_1\in G をとると，
\chi(x_1)\sum_{x\in G}\chi(x)=\sum_{x\in G}\chi(x_1x)=\sum_{x\in G}\chi(x).
したがって，\sum_{x\in G\chi(x)=0.]
後半は \chi_0(x)=1 より．//

次は容易に確かめられる．

命題4.3
(1) \chi_0 :G\to \mathbb{C}^\times を \chi_0 (x)=1 によって定義すると，これは指標．\chi_0 を単位指標と言う．
(2) \chi_1,\,\chi_2\in \hat{G} の積 \chi_1\chi2:G\to \mathbb{C}^\times を
\chi_1\chi_2(x)=\chi_1(x)\chi_2(x) によって定義すると，これは指標．
(3) \chi\in \hat{G} に対し，\chi^{-1}:G\to \mathbb{C} を
\chi^{-1}(x)=\chi(x)^{-1} によって定義すると，これは指標．
(4) 以上により，\hat{G} は Abel 群になる．

補題4.4
(1) 有限群 G の指標 \chi と x\in G に対し，|\chi(x)|=1.
(2) 有限群 G に対し，G の指標は有限個．

証明
\chi:G\to \mathbb{C}^\times を指標とする．
x\in G の位数を d とすると，
\chi(x)^d=\chi(x^d)=\chi(e)=1.
したがって，\chi(x) は1の d 乗根なので，絶対値1である．
また d 通りの可能性しかなく，さらに G は有限集合なので，指標は有限個．//

補題4.5
有限 Abel 群 G とその部分群 H に対し，H 上の指標は G 上に指標に拡張できる．

証明
\chi:H\to \mathbb{C}^\times を指標とする．
x\in G-H に対し，x^d\in H となる最小の自然数 d を考える．
\chi(x) を \chi(x^d) の d 乗根の1つと定め，
y\in H に対し，\chi(x^iy)=\chi(x)^i\chi(y) と定める．
H'=\{x^iy\mid i\in\mathbb{Z}, y\in H\}
は部分群であり，\chi は H' 上の指標になっていることが確かめられる．
以上の操作を続ければよい．//

命題4.6
有限 Abel 群 G の元 x の位数を d とする．
1の d 乗根 \eta に対し，\chi(x)=\eta となる指標 \chi:G\to \mathbb{C}^\times が存在する．

証明
H=\{e, x, x^2, \dots , x^{d-1}\} は G の部分群．
\chi(x^i)=\eta^i と定めると，\chi は H 上の指標．
命題4.4より，これは G に拡張できる．//

系4.7
有限 Abel 群 G と元 x\neq e に対し，指標 \chi :G\to \mathbb{C}^\times で \chi(x)\neq 1 であるものが存在する．

命題4.8
有限 Abel 群 Gに対し，
(1)
\sum_{\chi\in\hat{G}}\chi(e)=\sharp \hat{G}.
(2) x\neq e に対し，
\sum_{\chi\in\hat{G}}\chi(x)=0.

証明
\chi_1\in \hat{G} を \chi_1(x)\neq 1 となるようにとる．
\chi_1(x)\sum_{\chi\in\hat{G}} \chi(x)=\sum_{\chi\in\hat{G}} \chi_1\chi(x)=\sum_{\chi\in\hat{G}} \chi(x).
したがって，\sum_{\chi\in\hat{G}}\chi(x)=0.
後半は \chi(e)=1 より．//

命題4.9 有限 Abel 群 G の元 x の位数を d とする．
(1) \hat{G}(x)=\{\chi \in \hat{G} \mid \chi (x)=1\}
の元の個数を d' とおくと，|\hat{G}|=dd'.
(2) 変数 T に対し，
\prod_{\chi \in \hat{G}}(1-\chi (x)T)=(1-T^d)^{d'}.

証明
1の原始 d 乗根 \eta および i=0, \dots, d-1 に対し，
\chi_i(x)=\eta^i となる指標 \chi_i:G\to \mathbb{C}^\times を1つずつとる．
任意の指標は，\chi_i\chi \quad (i=0, \dots, d-1,\quad \chi \in \hat{G}(x)) と一意的にあらわされる．//