完全対（１）

math
  • 定義

    アーベル群の完全列 D\underset{j}{\to}E\underset{k}{\to}D と同型 \mathrm{Cok}\,k\simeq\mathrm{Ker}\,j の組を，
    完全対 (exact couple) とよぶことにする．

  • 定理

    D'\underset{j'}{\to}E'\underset{k'}{\to}D' を次のように定めると，同型 \mathrm{Cok}\,k'\simeq\mathrm{Ker}\,j' が誘導され，
    これも完全対をなす．

    • D'=\mathrm{Cok}\,k\simeq\mathrm{Ker}\,j.
    • d=jk:E\to E とおくと dd=jkjk=0.　そこで E'=\mathrm{Ker}\,d/\mathrm{Im}\,d とおく．
    • j の誘導する準同型 D\to E' は \mathrm{Im}\,k 上 0 なので，j':D'\to E' を誘導する．
    • k の制限 \mathrm{Ker}\,d\to D' は \mathrm{Im}\,d 上 0 なので，k':E'\to D' を誘導する．
  • 証明
    • \mathrm{Ker}\,k'=\mathrm{Ker}\,k/\mathrm{Im}\,d=\mathrm{Im}\,j/\mathrm{Im}\,d=\mathrm{Im}\,j'.
    • \mathrm{Cok}\,k'=D'/k(\mathrm{Ker}\,d)=\mathrm{Ker}\,j/(\mathrm{Ker}\,j\cap\mathrm{Im}\,k),
      \mathrm{Ker}\,j'=j^{-1}(\mathrm{Im}\,d)/\mathrm{Im}\,k=(\mathrm{Ker}\,j+\mathrm{Im}\,k)/\mathrm{Im}\,k.

      同型定理より，同型 \mathrm{Cok}\,k'\simeq\mathrm{Ker}\,j' が誘導される．（証明終）