2, 3, 4次方程式の解法 - yoshitake-hのブログ

ポイントは，根の張るベクトル空間を，根の置換群の可換正規部分群の既約表現に分解すること．
Schur の補題より既約表現は 1 次元なので，何乗かのテンソル積が自明な表現になる．
$n$ 次方程式の $n$ 根を $\alpha_1,\, ... ,\, \alpha_n$ とし， $V= \bigoplus_{i=1}^n\mathbb{C}\alpha_i$ とおく．

$n=2$

根の置換群 $S_2$ は可換．その既約表現に $V$ を分解すると，
$V=\bigoplus_{j=0}^1\mathbb{C}\beta_j,$
$\beta_0=\alpha_1+\alpha_2,\;\beta_1=\alpha_1-\alpha_2.$
$\beta_1$ を求めればよい．
${\beta_1}^2$ は $\alpha_1,\,\alpha_2$ の対称式なので方程式の係数の多項式で書ける．
平方根をとって $\beta_1$ を得る．

$n=3$

根の置換群 $S_3$ の可換正規部分群として $A_3$ をとる．
$0\to A_3\to S_3\to S_2\to 0\quad$ exact.
$A_3$ の既約表現に $V$ を分解すると，
$V= \bigoplus_{j=0}^2\mathbb{C}\beta_j,$
$\beta_0=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,$
$\beta_1=\alpha_1+\omega\alpha_2+\omega^2\alpha_3,\; \beta_2=\alpha_1+\omega^2\alpha_2+\omega\alpha_3,$
$\omega=(-1+\sqrt{3}i)/2.$
$\beta_1,\,\beta_2$ を求めればよい．
${\beta_1}^3,\,{\beta_2}^3$ は $A_3$ 不変．
よって ${\beta_1}^3,\,{\beta_2}^3$ の対称式は $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3$ の対称式．
よって 2 次方程式を解いて ${\beta_1}^3,\,{\beta_2}^3$ を得，立方根をとって $\beta_1,\,\beta_2$ を得る．
ただし， $\beta_1\beta_2$ が $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3$ の対称式であることに注意．

$n=4$

根の置換群 $S_4$ の可換正規部分群として，
$K=\{e,\,(12)(34),\,(13)(24),\,(14)(23)\}$
をとる．
$0\to K\to S_4\to S_3\to 0\quad$ exact.
$K$ の既約表現に $V$ を分解すると，
$V= \bigoplus_{j=0}^3\mathbb{C}\beta_j,$
$\beta_0=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4,$
$\beta_1=(\alpha_1+\alpha_2)-(\alpha_3+\alpha_4),\; \beta_2=(\alpha_1+\alpha_3)-(\alpha_2+\alpha_4),\; \beta_3=(\alpha_1+\alpha_4)-(\alpha_2+\alpha_3).$
$\beta_1,\,\beta_2,\,\beta_3$ を求めればよい．
${\beta_1}^2,\,{\beta_2}^2,\,{\beta_3}^2$ は $K$ 不変．
よって ${\beta_1}^2,\,{\beta_2}^2,\,{\beta_3}^2$ の対称式は $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3,\,\alpha_4$ の対称式．
よって 3 次方程式を解いて ${\beta_1}^2,\,{\beta_2}^2,\,{\beta_3}^2$ を得，平方根をとって $\beta_1,\,\beta_2,\,\beta_3$ を得る．
ただし， $\beta_1\beta_2\beta_3$ が $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3,\,\alpha_4$ の対称式であることに注意．