可換環論―Noether局所環の次元

2つの有限性

可換環が「有限次元空間の函数環である」ことに相当する条件として，
Noether性と Krull次元の有限性の2つが考えられる．
この2つの条件は一致しない．
実際，無限次元Noether環も 0次元非Noether局所環も構成できる．
しかし，Noether局所環は有限次元になる．

Taylor展開

局所環 $(A,\,m,\,k=A/m)$ は，自然なfiltration
$A\supset m\supset m^2\supset\cdots$
および $A$ を近似する $k$ 代数
$\mathrm{gr}_m(A)=\bigoplus_{n\geq 0}m^n/m^{n+1}$
をもつ．
$A$ がNoetherならば， $m$ は有限生成で， $\dim_k(m^n/m^{n+1})$ は有限．
この量は，Hilbert多項式の理論により，十分大きい $n$ に対し，
$m$ の生成元の個数より小さい次数の $n$ の多項式であらわされることがわかる．
その次数を $d(A)-1$ とおく．
Artin-Reesの補題を用いると $\dim A\leq d(A)$ が示され，
特に $\dim A$ の有限性がわかる．

3つの次元函数の一致

局所環 $(A,\,m)$ が $d$ 次元ならば， $d$ 個の元で生成される $m$ -準素イデアルが存在する．
よって， $m$ -準素イデアルの生成元の個数の最小値を $\delta(A)$ とすると， $\delta(A)\leq \dim A.$
一方， $m$ -準素イデアル $q$ は filtration
$A\supset q\supset q^2\supset\cdots$
および $A$ を近似する $A/q$ 代数
$\mathrm{gr}_q(A)=\bigoplus_{n\geq 0}q^n/q^{n+1}$
を定める．
$A$ がNoetherならば， $A/q$ 加群 $q^n/q^{n+1}$ の長さも，十分大きい $n$ に対し，
$q$ の生成元の個数より小さい次数の $n$ の多項式であらわされ，
その次数は $q=m$ の場合の次数，すなわち $d(A)-1$ に一致する．
したがって， $d(A)\leq \delta(A).$
以上により， $\dim A=d(A)=\delta(A).$