Galois の定理 (2) - yoshitake-hのブログ

$PSL_2(\mathbb{F}_q)$ が q 点以下の集合に推移的に作用するのは，q = 2, 3, 5, 7, 9, 11 のときのみ．

$PSL_2(\mathbb{F}_q)$ の位数は，q が奇数のとき q(q²-1)/2，q が偶数のとき q(q²-1)．
3次巡回群（位数 3）は，正三角形の頂点（または辺）の集合を $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_2)$ と見なすと， $PSL_2(\mathbb{F}_2)$ （位数 6）の部分群．指数は 2.
位数 4 の二面体群は，正方形の頂点の集合（または辺の集合）を $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_3)$ と見なすと， $PSL_2(\mathbb{F}_3)$ （位数 12）の部分群．指数は 3.
正四面体群（位数 12）は，正四面体の辺の集合を $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_5)$ と見なすと， $PSL_2(\mathbb{F}_5)$ （位数 60）の部分群．指数は 5.
正八面体群（位数 24）は，正八面体の面の集合を $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7)$ と見なすと， $PSL_2(\mathbb{F}_7)$ （位数 168）の部分群．指数は 7.
正二十面体群（位数 60）は，正二十面体の向かい合う面の対の集合を $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_9)$ と見なすと， $PSL_2(\mathbb{F}_9)$ （位数 360）の部分群．指数は 6.
正二十面体群（位数 60）は，正二十面体の頂点の集合を $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_{11})$ と見なすと， $PSL_2(\mathbb{F}_{11})$ （位数 660）の部分群．指数は 11.

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20050630