Hartshorne ゼミ (1)

アフィン多様体の章．零点定理の証明を補ってくれた．

零点定理： を 閉体 上の 変数多項式環とする．
が のイデアル の零点集合上で 0 ならば，
正整数 があって，

証明： とおく．
1. と で生成される のイデアルを とする．
2. の零点集合は空．
3. よって 弱零点定理より，
4. よって と書ける．
5. を代入して分母を払えば結論が得られる．

主定理は，

アフィン空間の超曲面の定義イデアルは単項．

か．「函数が図形と同じだけある」という定理．
一般の場合に 函数と図形の間にどれくらいの差が生じるか，が主要問題．
差を数える方法が，層係数コホモロジー．
「数える」と言ったが，実際にはベクトル空間を定義してその次元を数える．