クライン，正20面体と5次方程式 (2)

$X^5+aX^2+bX+c=0$ の解法

1. 解を $X=x_0,\,\cdots ,\,x_4$ とする．
2. 比 $(x_0:\,\cdots\,:x_4)$ がわかれば，たかだか1のべき根倍をのぞいて解がきまる．
3. $(x_0:\,\cdots\,:x_4)$ は $\mathbb{P}^3:\sum x_i=0$ の中の2次曲面 $C:\sum {x_i}^2=0$ 上の点．
4. 解の偶置換の群 $A_5\subset SO(4)\simeq (SO(3)\times SO(3))/\pm 1$ は， $C\simeq\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ に作用する．
5. $C\simeq\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の2つの成分それぞれには，正20面体群として作用する．
6. 係数 $a,\,b,\,c$ と判別式の平方根により，2つの $\mathbb{P}^1/A_5\simeq\mathbb{P}^1$ 上の点がきまる．
7. 正20面体方程式を解いて， $C\simeq\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の点がきまる．