Hamilton-Jacobi の方程式の解で 個の任意定数を含むもの に対し，方程式 によって， を定める． は非退化であるとする． より， したがって さらに， よって は Hamilton 方程式をみたす．

である Hamilton 方程式の解 に対し， とおき，これを Hamilton の主関数 という．これに対し， また， と書き直すと， したがって， これを Hamilton-Jacobi の方程式 という．

関数 を考え，これを Hamiltonian とよぶ． から 空間への写像に対し， を 作用 という． 変分 に対し， 力学系 を Hamilton 方程式 という．

有理関数の不定積分．

行列式の線形性と交代性．