Noether 局所環 と局所環の射 に対し， が 上平坦ならば， が正則局所環， が CM 環の場合， ならば， は 上平坦． が 上平坦ならば， が Gorenstein ⇔ が Gorenstein． Gorenstein 環上の多項式環，形式的べき級数環は Gorenstein 環． CM 環上の多項式環，…