平方剰余の第1, 2補充法則 - yoshitake-hのブログ

奇素数 p に対し，
$( \left( \frac{-1}p\right),\,\left( \frac{2}p\right),\,\left( \frac{-2}p\right) ) =\begin{cases} (1,\,1,\,1) & p\equiv 1\mod 8 \\ (-1,\,1,\,-1) & p\equiv -1\mod 8 \\ (-1,\,-1,\,1) & p\equiv 3\mod 8 \\ (1,\,-1,\,-1) & p\equiv -3\mod 8 \end{cases}.$

1の原始8乗根 ζ に対し， $\zeta^4=-1$ より，
$(\zeta^2)^2=-1,\quad (\zeta \pm\zeta^{-1})^2=\pm 2.$

$p^2\equiv 1\mod 8$ より， $\zeta^{p^2}=\zeta.$
よって， $\zeta +\zeta^p\in F_p.$

$(\zeta +\zeta^{-1})(\zeta -\zeta^{-1})=2\zeta^2$ に注意すると，
$\zeta^2,\,\zeta \pm\zeta^{-1}$ が $F_p$ に属すかどうかで4つの場合があるが，それが
$\zeta^p=\zeta,\,\zeta^{-1},\,\zeta^3(=-\zeta^{-1}),\,\zeta^{-3}(=-\zeta)$ の4つの場合に対応している．

$\zeta \pm\zeta^{-1}\in F_p$ と $\zeta \in F_p$ が同値であることに注意すると，

$\zeta^p=\zeta$ の場合， $\zeta\in F_p$ ．よって，
$\zeta^2,\,\zeta \pm\zeta^{-1}\in F_p.$
$\zeta^p=\zeta^{-1}$ の場合， $\zeta +\zeta^{-1} = \zeta +\zeta^p\in F_p.$
$\zeta\not\in F_p$ より， $\zeta-\zeta^{-1}\not\in F_p.$
$\zeta^p=\zeta^3$ の場合， $\zeta -\zeta^{-1}= \zeta +\zeta^p \in F_p.$
$\zeta\not\in F_p$ より， $\zeta+\zeta^{-1}\not\in F_p.$
$\zeta^p=\zeta^{-3}$ の場合， $\zeta^{2p}=\zeta^2$ より $\zeta^2\in F_p.$
よって， $(\zeta+\zeta^{-1})(\zeta-\zeta^{-1}) \in F_p.$
$\zeta\not\in F_p$ より， $\zeta \pm\zeta^{-1}\not\in F_p.$