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指数関数

math

犬井鉄郎『特殊関数』岩波全書　より．

$A>B>0$ に対し，
$(n+1)\,A^n>\frac{A^{n+1}-B^{n+1}}{A-B}>(n+1)\,B^n.$
この不等式が平均値の定理のはたらきをする．

$x>0$ とし，
$A=1+\frac{x}n,\; B=1+\frac{x}{n+1}$
に適用すると，
$A-B=\frac{x}{n(n+1)}$
より，
$\frac{x}n\left( 1+\frac{x}n \right)^n> \left( 1+\frac{x}n \right)^n \left(1+\frac{x}n\right)-\left(1+\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}.$
よって
$\left(1+\frac{x}n\right)^n-\left(1+\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}<0.$

$0<x< n$ とし，
$A=1-\frac{x}{n+1},\; B=1-\frac{x}n$
に適用すると，
$A-B=\frac{x}{n(n+1)}$
より，
$\left(1-\frac{x}{n+1}\right)^{n+1} -\left( 1-\frac{x}n \right)^n \left(1-\frac{x}n\right)>\frac{x}n\left( 1-\frac{x}n \right)^n.$
よって
$\left(1-\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}-\left(1-\frac{x}n\right)^n>0.$

ゆえに，
$\left(1-\frac{x}n\right)^n<1$
は上に有界な増大列なので，収束する．

$0<x<n_0< n$ とすると，
$\left(1+\frac{x}n\right)^n<\left(1-\frac{x}n\right)^{-n}< \left(1-\frac{x}{n_0}\right)^{-n_0}$
は上に有界な増大列なので，収束する．

$0<x< n$ とし，
$A=\left(1-\frac{x}n\right)^{-1}, \; B=1+\frac{x}n$
に適用すると，
$A-B=\frac{x^2}{n^2}\, A$
より，
$0<\left(1-\frac{x}n\right)^{-n}-\left(1+\frac{x}n\right)^n < n\,A^{n-1}\, \frac{x^2}{n^2}\, A=\frac{x^2}n\,A^n \\ \to 0 \mbox{ as } n\to \infty.$

$|x+y|< n$ とし，
$A=\left(1-\frac{x+y}n\right)^{-1}>\frac{1}2, \; B= \left(1+\frac{x}n\right) \left(1+\frac{y}n\right)$
とすると，
$A-B= \frac{(x+y)^2}{n^2}\, A-\frac{x\,y}{n^2} > \frac{(x+y)^2}{n^2}\, (A-\frac{1}2)>0$
より，
$0<A^n-B^n<n\,A^{n-1}\, \left( \frac{(x+y)^2}{n^2}\, A-\frac{x\,y}{n^2} \right)=\frac{A^{n-1}}n\, \left( (x+y)^2\, A-x\,y \right)\\ \to 0 \mbox{ as } n\to \infty.$