yoshitake-hのブログ

波面集合 (wave front set)

math

定義
上の超関数に対し，その 特異台

を次のように定義する．
- $x_0\not\in \mbox{sing supp }(u)$ となるのは，
  $x_0$ のある近傍で $u$ が $C^\infty$ であること．

Paley-Wiener の定理
は，次の条件に同値である．
- $x_0$ の近傍 $U$ が存在して，
  任意の test amplitude $\varphi\in C^\infty_0(U)$ および任意の自然数 $N$ に対し，
  $\xi,\,|\xi|=1$ について一様に，
  $\langle e^{-i\,\tau \langle \cdot,\,\xi\rangle}\varphi,\, u\rangle = O(\tau^{-N})\, \mbox{as } \tau \to \infty.$

定義
超関数の 波面集合 (wave front set)

を次のように定義する．
- $(x_0,\,\xi_0)\not\in WF(u)$ となるのは，
  任意の test phase $\psi\in C^\infty(X\times \mathbb{R}^k),\, d_x\psi(x_0,\,a_0)=\xi_0$ に対し，
  $(x_0,\,a_0)$ の開近傍 $U\times A$ が存在して，
  任意の test amplitude $\varphi\in C^\infty_0(U)$ および任意の自然数 $N$ に対し，
  $a\in A$ について一様に，
  $\langle e^{-i\,\tau\, \psi(\cdot,\,a)}\varphi,\, u\rangle = O(\tau^{-N})\, \mbox{as } \tau \to \infty$
  となることとする．

定義
cotangent sphere bundle $S^*X$ の開集合 $U$ に対し， $\mathcal{D}'(X)$ 上の同値関係を，
$u_1\equiv_U u_2\quad \Leftrightarrow WF(u_1-u_2)\cap U=\varnothing$
によって定義し， $S^*X$ 上の マイクロ関数 の層 $\mathcal{C}$ を，
$\mathcal{C}(U)=\mathcal{D}'(X)/\equiv_U$
によって定義する．