代数学の基本定理の証明 - yoshitake-hのブログ

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20070709#p3
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20070920#p2

定理複素数係数の任意の1次以上の多項式 $P(X)$ は複素数根をもつ．

証明1

根が存在しないとすると，

$\int_{|z|=r}\frac{1}{P(z)}\; \frac{dz}z =\frac{2\pi i}{ P(0)}.$

$P(X)=\sum_{k=0}^na_k\,X^k,\; a_n\neq 0$
とすると，
$|P(r\,e^{i\theta})|\geq |a_n\,r^n|-\sum_{k=0}^{n-1}|a_k\,r^k| = |a_n\,r^n| (1-\frac{1}{|a_n|} \sum_{k=0}^{n-1}|a_k\,r^{k-n}|).$
$\lim_{r\to \infty}|a_n\,r^n| (1-\frac{1}{|a_n|} \sum_{k=0}^{n-1}|a_k\,r^{k-n}|) = \infty$
より， $R>0$ が存在して，
$|P(Re^{i\theta})|\geq 2|P(0)|.$
よって，
$\frac{2\pi }{| P(0)|} = \left| \int_{|z|=R}\frac{1}{P(z)}\; \frac{dz}z \right| \leq \int_0^{2\pi} \frac{1}{2|P(0)|}d\theta =\frac{\pi}{|P(0)|}.$
矛盾．//

証明2

Paul Loya 氏によるもの．

http://people.math.binghamton.edu/loya/
http://people.math.binghamton.edu/loya/papers/LoyaFTA.pdf

上の証明を，関数論を用いない形に焼き直す．

準備．

$e^{i\theta} = \cos \theta +i\,\sin \theta$
と『定義』すると，
$\frac{d}{d\theta}\, e^{i\theta} = i\,e^{i\theta},\quad |e^{i\,\theta} | = 1.$
実変数の複素数値関数 $u(x)$ に対し，
$(u\,\frac{1}u)'=0$
より，
$(\frac{1}u)'=-\frac{u'}{u^2}.$

根が存在しないとする．

$f(r,\,\theta) = \frac{1}{P(r\,e^{i\theta})}$
とおく．
$i\,r\,\frac{\partial}{\partial r}\, (r\,e^{i\theta})^k = i\,k\,(r\,e^{i\theta})^k = \frac{\partial}{\partial \theta }\,(r\,e^{i\theta})^k$
より，
$i\,r\,\frac{\partial}{\partial r}\,P(r\,e^{i\theta}) = \frac{\partial}{\partial \theta }\,P(r\,e^{i\theta}).$
よって，
$i\,r\, \frac{\partial}{\partial r}\,f = \frac{\partial}{\partial \theta }\,f.$
（Cauchy-Riemann 方程式．複素数変数の関数の連鎖律を用いずに導出している．）

そこで

$F(r) = \int_0^{2\pi}f(r,\,\theta)\,d\theta$
とおくと，積分と微分の順序交換 より，
$F'(r) = \int_0^{2\pi}\frac{\partial}{\partial r}\,f\,d\theta$
$= \frac{1}{i\,r}\int_0^{2\pi}\frac{\partial}{\partial \theta}\,f\,d\theta$
$= \frac{1}{i\,r}\, (f(r,\,2\pi)-f(r,\,0)) =0.$
よって $F(r)\,(r\neq 0)$ は定数． $F(r)$ は $r=0$ で連続なので，
$F(r) = F(0) = \frac{2\pi}{P(0)}.$

証明1と同様に， $R>0$ が存在して，

$|P(Re^{i\theta})|\geq 2|P(0)|.$
よって，
$\frac{2\pi }{| P(0)|} = |F(R)| = \left| \int_0^{2\pi}\frac{1}{P(Re^{i\theta})}\,d\theta \right| \leq \int_0^{2\pi} \frac{1}{2|P(0)|}d\theta =\frac{\pi}{|P(0)|}.$
矛盾．//