代数的K理論（1）
- アーベル群の双準同型
は，いろいろなところに現れ，重要な役割を果たす．
- 環 R にアーベル群
を対応させる共変関手がある．
- 可換環 R に対し，双準同型
\times K_1(R)\to K_2(R) )
が定義される．
- 可換環 R に対し，
はの上の双準同型になる．
- 群準同型
\to GL_{n+1}(R),\quad X\mapsto \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})
によってを
の部分群とみなして
 =\bigcup GL_n(R))
とし，その交換子群をとする．
の元で，対角成分が1で，他の0でない成分が1つだけであるものを elementary 行列と言う．
- 自然数 i, j に対し，(i, j) 成分が1，他が0である行列を
で表す．
に対し，
とおくと，
\, e_{ij}(b)=e_{ij}(a+b),)
\, e_{kl}(b)=I+E_{ij}\,a+E_{kl}\,b+\delta_{jk}\,E_{il}\,a\,b,)
\, e_{kl}(b)\, e_{ij}(-a) =I+E_{kl}\,b-\delta_{li}\,E_{kj}\,b\,a+\delta_{jk}\,E_{il}\,a\,b -\delta_{jk}\,\delta_{li}\,E_{ij}\,a\,b\,a ,)
,\, e_{kl}(b)]=\begin{cases} e_{il}(a\,b) & j=k,\, i\neq l \\ e_{kj}(-b\,a) & j\neq k,\, i=l \\ I & j\neq k,\,i\neq l \end{cases} .)
- したがって，elementary 行列は
- また，
^{-1} & 0 \\ 0 & BA \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} [A,\,B] & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix})
より次が従う．Whitehead の補題
- 生成元
と関係式
\, x_{ij}(b)=x_{ij}(a+b),)
,\, x_{kl}(b)]=\begin{cases} x_{il}(a\,b) & j=k,\, i\neq l \\ x_{kj}(-b\,a) & j\neq k,\, i=l \\ I & j\neq k,\,i\neq l \end{cases} )
で定義される群を R の Steinberg 群 と言う．
定理
の核
は
定理
は universal な中心拡大である．
定理
