yoshitake-hのブログ

Kan 拡張

math

圏 $X,\;I,\;J$ と関手 $a:I\to X, \; s:I\to J$ に対し，

関手 $x:J\to X$ と自然変換 $\lambda :a \Rightarrow x\circ s$ の組 $(x,\;\lambda)$ の中で initial なものを，
$s:I\to J$ に沿った $a:I\to X$ の 左 Kan 拡張 という．

関手 $x:J\to X$ と自然変換 $\rho :x\circ s \Rightarrow a$ の組 $(x,\;\rho)$ の中で terminal なものを，
$s:I\to J$ に沿った $a:I\to X$ の 右 Kan 拡張 という．

圏を次のように定義する．
- 対象は，関手 $x:J\to X$ と自然変換 $\lambda:a \Rightarrow x\circ s$ の組 $(x,\;\lambda).$
- $(x_1,\;\lambda_1)$ から $(x_2,\;\lambda_2)$ への射は，自然変換 $\xi:x_1\Rightarrow x_2$ で， $\lambda_2=(s^*\xi)\circ \lambda_1$ をみたすもの．
圏 $a/X^J$ の始対象 $\mathrm{Lan}_sa$ を， $s:I\to J$ に沿った $a:I\to X$ の 左 Kan 拡張 という．

また，圏を次のように定義する．
- 対象は，関手 $x:J\to X$ と自然変換 $\rho:x\circ s \Rightarrow a$ の組 $(x,\;\rho).$
- $(x_1,\;\rho_1)$ から $(x_2,\;\rho_2)$ への射は，自然変換 $\xi:x_1\Rightarrow x_2$ で， $\rho_1=\rho_2\circ (s^*\xi)$ をみたすもの．
圏 $X^J/a$ の終対象 $\mathrm{Ran}_sa$ を， $s:I\to J$ に沿った $a:I\to X$ の 右 Kan 拡張 という．