HOMFLY多項式

• HOMFLY多項式の構成は，有向絡み目図式の交点数Nに関して帰納的に行われる．
• Reidemesiter move I (RI) に対する不変性とスケイン関係式より，成分を交差なく追加するときのHOMFLY多項式の変化が決まる．これを泡公式R0とよぶ．R0は交点数が1つ多い図式に対するRIによって示されるので，交点数に関する帰納法のときには，RI, RII, RIII の他にR0も考える．
• 交点数Nの図式に対し，交差を取り替えたものも同時に考えると，全部で 2^N 個の図式がある．それらはスケイン関係式で関係づけられている．
• 図式のr個の成分の辺に1つずつ基点 P₁, ... , P_r を取る．
• 基点の順番にしたがって，各基点から出発して向きにしたがって各成分を1周し，次の成分の基点に移ることで，すべての上交点，下交点に対して全順序が定まる．上交点<下交点となるとき，基点つき図式は単調であると言う．
• 基点に関して単調な図式は，自明な絡み目である．
• 基点に関して単調な図式のHOMFLY多項式を，自明な絡み目の図式と同じと定義する．
• スケイン関係式により，単調な図式の交差を取り替えたもののHOMFLY多項式が定まる．
• これが，基点の取り方によらないこと，R0，RI，RII，RIII をみたすことを示す．いずれも，まず単調な図式に対して示し，スケイン関係式による帰納法により，単調な図式の交差を取り替えたものに対して示す．